从教学“2、5的倍数的特征”想到的……

[教学实例]

……

师：我们今天要来研究2和5的倍数的特征。可是自然数那么多，我们能一个一个研究吗？

生：不能。那样的话永远也研究不了，自然数太多了，是无限的。

师：那怎么办呢？

（同桌讨论）

生：我们可以先研究小范围里面的数。再推广。

师：他的想法真棒！那我们就先确定一个比较小的范围1-100，看看这100个数里2和5的倍数有哪些特征。

……

师：同学们通过自己的努力，发现了1-100中所有5的倍数个位上的数字都是5或0。那么在所有的自然数中，是不是5的倍数都有这个特征呢？

生：（凌乱地回答）是！

师：肯定吗？这只是我们的——猜测。要证明这个猜测对不对，我们还要进一步验证。那如何验证呢？有那么多自然数啊？

（同桌讨论）

生：可以找一个数看一看。

师：找怎样的数呢？怎么看一看呢？谁能说得更明白呢？

生：就是找一个末尾是0或者5的数，然后除以5看看，能不能除得尽。

师：哦，如果找不到这样的数，那说明——在大范围里面也适合。

如果找得到这样的数，那就是有了反例，说明——在大范围里面不适合。

（学生在本子上举例）

……

师：我们举了大量的例子，没有找到反例。那现在我们可以得出怎样的结论了呢？

生：所有5的倍数，个位上的数字都是5或0。

师：谁能完整地说一说呢？在怎样的范围内呢？

生：在自然数中，个位上的数字是5或0，那这个数一定是5的倍数。

师：当然，我们研究的是不是0的自然数。

……（练习）

师：我们已经找到了5的倍数的特征，并能灵活运用了。那我们来回想一下，我们是怎样来研究5的倍数的特征的呢？

（同桌讨论，教师巡视并启发）

生1：我们先确定了一个范围。

师：为什么呢？

生1：因为不确定范围的话，数太多了，不可能研究得完。

生2：我们找到了这个范围内5的倍数特征后，就把范围扩大到所有不是0的自然数，进行了猜想。

生3：猜想后，我们又进行了验证。

师：我们是用怎样的方法进行验证的呢？

生4：举例。看看有没有反例。

师：说得真好，最后我们才得出了结论——在所有不是0的自然数中，5的倍数的特征是个位上5或0。然后运用这些结论能快速判断。

师：谁能完整地把这个研究过程说一说呢？（同桌说——全班说）

……

师：那2个倍数特征我们怎么研究呢？

生：也是先确定范围，寻找一定范围内的2的倍数特征。然后扩大范围，举例，寻找反例，最后得出结论。

师：那我们就用这样的研究方法，四人一小组开始研究2的倍数的特征。

……

[教学反思]

从以上的教学过程中，我们看到，掌握2、5的倍数的特征不是本节课的唯一目标，教师在制定目标的时候，还从数学研究方法这个纬度着手，在学生掌握知识的同时，更注重让学生了解科学的数学研究的过程。

我们知道，一堂课的知识目标是很容易达成的，但是如果要渗透数学思想方法或科学的研究方法，往往会给我们一线教师带来很多困难。在这节课中，我们看到教师引导学生通过“猜想——验证——结论”三个流程进行研究，最后得到正确的数学结果，并进行应用。下面我们结合以上教学过程来仔细分析一下教者在教学过程中是如何注意渗透数学研究方法的。

    1、渗透“范围”意识。

当我们说要研究2、5的倍数的特征时，学生想当然地会认为只要一个数一个数地研究就可以了。如果让他们实际操作，他们很可能会写了几个数后，就下结论，当然这时候他们下的结论也很可能是正确的。大部分老师在这样的情况下，就会肯定学生的结论，然后进行练习巩固。

但是教者并没有满足于此，而是抱着科学严谨的态度。仅仅几个数就能得出结论了吗？答案显然是否定的，一项结论的得出不是这样草率的。如果教师如此这般教学，一次两次不要紧，长久以来，学生也会形成草率的态度，以偏概全，缺乏一种科学的严谨，这是很可怕的。

所以我们看到，首先教者引导学生确定了“小范围”的意识，在数据比较多的时候，我们可以先确定一个范围，在有限的时间里研究这个范围中的数的特征，得到在1-100这个范围内5的倍数的特征，个位上的数字是5或0。这时候教师没有满足于此，而是引导学生认识到这个结论仅仅适用于1-100这个小范围，是不是在所有不等于0的自然数中都使用呢？还需要研究。所以接下来在教师的引导下，学生开始认识到还要继续拓展范围，研究大于100的自然数中所有5的倍数是不是也是个位上的数字是5或0。只有进行了研究，才能得到正确的结论，最后在学习和生活中进行应用。

在这一过程中，学生感受到了科学严谨的态度，同时有了一定的“范围”意识，知道了在进行一项数目巨大的研究过程中，可以从小范围入手，得到一定的猜想，然后逐渐扩范围大，最后得出科学的结论。相信长此以往，学生会逐渐明确范围意识，建立科学严谨的态度的。

2、感受“猜想”与“结论”的不同。

在教学2、5的倍数的特征之前，教者找了几个学生访谈，想了解学生学习的前在状态，当然所找的学生是各种层次都有的。对于2、5的倍数的特征，应该说比较简单，所以中等学生和优等生都已经知道了它们的特征——2的倍数肯定是双数，5的倍数末尾是5或0，只有个别学困生一无所知。同时有个奇怪的现象，所有知道这个结论的同学都认为这个结论非常正确，以后就能用这个结论来进行判断，不需要进行验证，当然他们的结论获得也仅仅是“知道”的过程，没有经历“探究”过程。

教者不禁思考，如果长此以往，学生仅仅是知识的接受者，而不是知识的探究者，以后将只习惯于被动接受，而不会主动发现。

所以，在教学中，当学生找到1-100内2和5的倍数特征时，教师追问学生，“是不是比100大的自然数中，也有这个特征呢？”学生异口同声地都认为是。这里就需要教师帮助学生养成严谨科学的学习态度。我们看到，教师告诉学生是不是有这个特征，我们没有研究过，所以只是我们的猜想。当教师一点拨后，大部分学生还是比较认可的。确实，没有经过研究，怎么能知道是呢？

有了这样的猜想，最后通过举例的方法验证后，学生没有找到反例，这时教师才告诉学生，一开始的猜想现在变成了结论。虽然同样是一句话，不同的时候有不同的界定，没有经过验证前，只是猜想；只有研究后，猜想才可能变成结论。

相信学生不断经历这种过程后，他们才会具备科学的态度，才会学会对自己所说的话负责，才不会贸然下结论，当然我们教师也要鼓励学生大胆猜想。

3、学习一种“验证”方法。

证明的方法有很多种，如几何证明、枚举法、不完全归纳法……这些方法在学生升入初中后就会逐渐接触并掌握。但是我们既然认识到在小学阶段，学生不仅仅是知识的接受者，也应该是知识的探究者，那么是不是应该让学生掌握一些探究验证的方法呢？

我们知道，由儿童的年龄特点决定，小学生最会大胆猜想，但是往往他们没有方法来证明自己的猜想对不对，正因为如此，他们才错误地认为自己的猜想就是结论，才缺乏一种严谨的态度。相反，如果他们有了一种验证猜想的方法，是不是会变得细致些呢？

根据孩子的特点，教者认为最适合小学生的方法便是让他们学会举例的方法。也就是简单的“枚举法”，包括“找反例”。

从这节课中，我们看到，当学生扩大范围，研究比100大的5的倍数的特征时，教师就引导可以用举例的方法来研究，寻找有没有不符合这一特征的例子，如果有，说明一开始的猜想是错误的；全班举了无数个例子，如果没有，那么在小学阶段，可以认为是正确的。这样，当下节课研究3的倍数的特征时，学生就会大胆猜想，并有方法来验证自己的猜想了。

当然，随着学生年龄的增大，学生应该掌握更多的验证方法，每种验证方法也应该不断完善。

4、经历完整的研究过程。

从这节课，我们看到学生经历了“猜想——验证——结论”这一研究过程。首先鼓励学生大胆猜想，当什么想法也没有时，可以缩小范围，从小范围开始研究，得出适用于小范围的结论；然后扩大范围后，可以根据这一结论大胆猜想；接着用举例的方法进行验证；当找不到反例了，得到正确的结论。

其实在以前的教学中，教者也并没有仅仅关注每节课的知识目标的达成，还不断渗透这种研究方法。如运算律的教学，学生根据一两个算式得到了猜想，这时候教师便引导他们进行举例验证，最后得到结论后练习应用。其实在新教材中，很多地方都可以渗透这种研究方法。在设计教学时，教者准备在研究3的倍数特征时，就先放手让学生通过这样的过程去体会，教师在其中只是引导者、合作者和帮助者。

随着时代的发展，随着新课改的不断深入，我们教师在制定教学目标时，不要再仅仅关注学生知识目标，更重要的是要关注学生的能力目标，只有从小培养，从小渗透，那么我们学生对数学的认识才会更深刻，也才会在数学上有更大的造诣。